だま氏の解いた問題たち

解いた問題で良問だったものを載せます

#5 (2015 IZhO Day1 - 2)

G Lv.4

IZhO : International Zhautykov Olympiad

感想

久々の良問. なかなか補助線が面白かった.
（これからこのブログには良問しか載せないことにしよう）
Lv.4 所要時間60分

原文

Inside the triangle $ ABC $ a point $ M $ is given. The line $ BM $ meets the side $ AC $ at $ N $. The point $ K $ is symmetrical to $ M $ with respect to $ AC $. The line $ BK $ meets $ AC $ at $ P $. If $ \angle AMP = \angle CMN $, prove that $ \angle ABP=\angle CBN $.

翻訳

三角形$ ABC $の中に点$ M $がある. 直線$ BM $は辺$ AC $と点$ N $で交わる. 点$ K $は$ AC $に関して$ M $と対称である. 直線$ BK $は辺$ AC $と点$ P $で交わる. もし$ \angle AMP = \angle CMN $なら, $ \angle ABP = \angle CBN $を証明せよ.

#4 (2016 Iran 3rd N1)

N Lv.5

感想

なかなか面白い問題. 主張が強くて面白い.
所要時間60分, 難易度5

原文

Let \(p,q\) be prime numbers (\(q\) is odd). Prove that there exists an integer \(x\) such that:
\[q |(x+1)^p-x^p\]If and only if \[q \equiv 1 \pmod p .\]

和訳

\(p\) は素数, \(q\) は奇素数とする. このとき, \[q |(x+1)^p-x^p\]を満たす整数 \(x\) が存在することは, \[q \equiv 1 \pmod p\]であることの必要十分条件であることを示せ.

#3 (2013IMO-1)

N Lv.4 IMO

感想

迷宮に入り込み無駄に時間を使ってしまった。
時間90分、難易度4

原文

任意の正の整数の組 \((k,n)\) に対して, ある \(k\) 個の (相異なるとは限らない) 正の整数 \(m_1,m_2,...,m_k\) が存在して
{\begin{eqnarray}1+\frac{2^k-1}{n}=\left(\frac{1}{m_1}\right)\left(\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(\frac{1}{m_k}\right)\end{eqnarray}}
となることを示せ。