読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

#1 (2014SLP-G3)

感想

難しくありません(すごいアイデアを使う必要がありません).
所要時間30分、レベル4[JJMO3-4番級(難しい方)]

原文

Let \(\Omega\) and \(O\) be the circumcircle and the circumcentre of an acute-angled triangle \(ABC\) with \(AB>BC\). The angle bisector of \(\angle ABC\) intersects \(\Omega\) at \(M\neq B\). Let \(\Gamma\) be the circle with diameter \(BM\). The angle bisectors of \(\angle AOB\) and \(\angle BOC\) intersect \(\Gamma\) at points \(P\) and \(Q\), respectively. The point \(R\) is chosen on the line \(PQ\) so that \(BR=MR\). Prove that \(BR\parallel AC\). (Here we always assume that an angle bisector is a ray.)

和訳

\(AB>BC\)を満たす鋭角三角形\(ABC\)があり、その外接円を\(\Omega\), 外心を\(O\)とする. \(\angle ABC\)の二等分線は\(\Omega\)と\(B\)でない点\(M\)で交わる. \(\Gamma\)を、線分\(BM\)を直径とした円とする. \(\angle AOB\), \(\angle BOC\)の二等分線は\(\Gamma\)とそれぞれ\(P\), \(Q\)で交わる. 点\(R\)を, 直線\(PQ\)上で\(BR=MR\)を満たす点とする. このとき、\(BR\parallel AC\)を証明しなさい. (ここでは, 角の二等分線は半直線だと仮定する. )