だま氏の解いた問題たち

解いた問題で良問だったものを載せます

IMO 2019 参加記 ~試験編~

試験の概要

体育館の中で試験をしました。
Contestant 1のブロック、2のブロック、…というように分かれていて、同じ国の人が近くに来ないようになっています。
トイレについては外に仮設のものが来ていました。誰がいつ出て入ったか管理されます。

Day 1 の感想

自分でも驚くほど調子が良かったです。
20分で(解答を書く時間含めず)問1と問2を解けてしまいました。
さっさとその答案を書き上げ、問3を考える時間を確保しました。
時間ギリギリでしたがなんとか問3を完答できました。
解説については https://www.imo2023.org/archive/mo2019/imo2019/problems/solutions-r856.pdf に書いてあるのでそちらを参照してください。

問題1

簡単だと思います。ちょっとやれば\(f\)が線形であることがわかるのでおわります。

問題2

ここでなんかめっちゃ天才になってました。公式のSolution 1と若干似ている解答です。
こういう共円ってその円上の補助点をとるといいことがあるよねってなって、謎な角度の条件を使えるように、直線\(BB_1\)と\(\odot B_1CP_1\)の交点をとったらすべてうまく行きました。

問題3

公式の解答とは違う若干めんどくさいことをしました。イベントを繰り返してどの頂点も次数が高々1にできるグラフは「良い」と言うことにするとき、橋のある連結なグラフは良いことをまず示し、次に最初の問題のグラフはイベントを繰り返して橋のある連結なグラフにできることを示しました。
橋のある連結なグラフが良いことの証明は、辺の本数の帰納法で、いい感じにイベントを起こすと帰納法が回ることを示す感じです。
最初の問題のグラフがイベントを繰り返して橋のある連結なグラフにできることの証明は若干大変ですが、適切にアルゴリズムに従ってイベントを起こすと、良くない状態(連結でないまたは完全グラフである状態)を回避しながら最終的に橋ができることを示す感じです。

Day 2 の感想

問4と5を1時間位で解いて、解答を書こうとして書いていったら問4で嘘をついていることがわかってやや悩んで、それであと試験が2時間位になった気がします。
問6は全然わかりませんでした…
試験後坂本君が「複素で行けた、頑張った」と言っていました。

問題4

簡単ですが若干面倒くさいです。2のオーダーと大小の比較で十分なのですが、自分は2のオーダーと3のオーダーを比べるという面倒くさいことをしてしまいました。LTE補題とか出てきて大変です。
最終的に1点引かれていました。細かい部分で添え字を-1してしまったらしく、悲しいです。細かいミスにも注意しましょう。

問題5

簡単です。(b)で帰納的にできることは割とすぐに見えると思います。

問題6

本当に手がつけられませんでした。初等だとかなりきついと思います。
わからないですけど、解けている人はだいたい複素座標でしょうか…?
バンジーさんによる複素座標での解答です。