だま氏の解いた問題たち

解いた問題で良問だったものを載せます

LTEの補題(2)

su-hai.hatenablog.com
昔書いた記事ですが、何度か「これよりも簡単に証明できる」と言及されたので、(実質同じなんですけど)書きます。

\(x-y=kp^d\)とするとき、二項定理より
\[\begin{eqnarray}
x^n-y^n&=&(y+kp^d)^n-y^n\\
&=&ny^{n-1}kp^d+\frac{n(n-1)}2y^{n-2}k^2p^{2d}+Cp^{3d}\\
&=&p^d\left(ny^{n-1}k+\frac{n(n-1)}2y^{n-2}k^2p^d+Cp^{2d} \right)\cdots ☆
\end{eqnarray}\](\(C\)は整数)である。

  • \(\mathrm{ord}_p n=0\)のとき

☆より、\(p\mid \hspace{-.67em}/n,y,k\)であることに注意すると、\(\mathrm{ord}_p(x^n-y^n)=d\)を得る。

  • \(n=p\)のとき

☆より、\[x^p-y^p=p^{d+1}\left(y^{n-1}k+\frac{p-1}2y^{n-2}k^2p^d+Cp^{2d-1} \right)\]であるので、\(\mathrm{ord}_p(x^p-y^p)=d+1\).

  • 一般のとき

\(\mathrm{ord}_p n\)についての数学的帰納法。\(\mathrm{ord}_p n=0\)のときについてはもう示した。\(\mathrm{ord}_p n=k\)のときに成り立つとし、\(\mathrm{ord}_p n=k+1\)のときについて考える。\(x\equiv y \pmod p\)より\(x^p\equiv y^p \pmod p\)であるので、
\[\begin{eqnarray}
\mathrm{ord}_p (x^n-y^n)&=&\mathrm{ord}_p ((x^p)^{n/p}-(y^p)^{n/p})\\
&=& \mathrm{ord}_p (x^p-y^p)+\mathrm{ord}_p (n/p)\\
&=&d+k+1
\end{eqnarray}\]であるので\(\mathrm{ord}_p n=k+1\)の場合も成り立つ。
以上より、LTE補題が示された。

P.S. LTE補題の証明は数オリでは必要なさそうです。
P.S. やはり必要らしいです、代表選考とかでは時間がない場合はいいけどあるのなら書くべきと先輩に言われました