2019 JMO 本選問1~4 解説 (追記:問5) - だま氏の解いた問題たち

全体の感想

難易度は1<2<3<4<5だと思いました.
問5はまだ解けていません…
(追記: 解答を載せました(自力ではないですが))

問1

感想

やればできる不定方程式の問題です.
なんでJMOは5年連続問1に整数を置くんですか?????

略解

\(b\)と\(c\)の大小で場合分け.
・\(b=c\)のとき
\(a^2+b+3>0\)より解なし.
・\(b>c\)のとき
\(a^2=(b^2-c^2)^2-b-3<(b^2-c^2)^2\)
\(b>c\geq 1\)より\(b^2-c^2\geq 1\)であり, \(a^2,(b^2-c^2)^2\)はともに平方数なので
\[\begin{eqnarray}
(b^2-c^2)^2-b-3&\leq&(b^2-c^2-1)^2\\
- b-3&\leq&-2(b^2-c^2)+1\\
b^2-\frac b2-2&\leq&c^2
\end{eqnarray}\]ここで\(b>2\)のときは\[(b-1)^2< b^2-\frac b2-2\leq c^2\]が成り立つが, これは\(b>c\)という仮定に矛盾. よって\(b\leq 2\)である. この場合は\((a,b,c)=(2,2,1)\)のみ.
・\(b< c\)のとき
さっきと同じような感じで解くと解がないことがわかる(やってみてください).

問2

感想

1回1回得点が入るのが面倒臭いですね…
これもやればできる問題だったと思います.
記述がちょっと大変そう?

略解

\(\pmod n\)のみが本質のため1を\(n\)個, 2を\(n\)個, ... , \(n\)を\(n\)個書くとしてよい.
各行・列に注目したときの, 「その行・列で総和が変更されてそれが\(n\)の倍数となる回数」をその行・列のスコアと呼ぶことにする.
最終的な得点は, 各行・列のスコアの総和に等しい.
ある行に注目するとき, 最終的にその行にかかれる数の総和が\(S\)ならば, 書かれる数がすべて正であるため, その行が\(n\)の倍数になる回数=スコアは\([S/n]\)以下である.
\(i\)行目に書かれる数の総和を\(S_i\)とするとき, 行全体におけるスコアの総和は
\[\begin{eqnarray}
\Big[\frac{S_1}{n}\Big]+\Big[\frac{S_2}{n}\Big]+\cdots+\Big[\frac{S_n}{n}\Big] &\leq&\Big[\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n}\Big]\\
&=&\Big[\frac{n(1+2+\cdots+n)}{n}\Big]\\
&=&\frac{n(n+1)}{2}
\end{eqnarray}\]以下である. 列についても同様なので, 結局最終的な得点は\(n(n+1)\)以下.
得点を\(n(n+1)\)にすることが可能なことを示す. \(i\)行目, \(j\)列目のマスを\((i,j)\)と表すこととする. また, 任意の整数\((i,j)\)について\((i+n,j)=(i,j+n)=(i,j)\)とする.
以下の操作を\(k=n,1,n-1,2,\dots,\frac{n-1}{2},\frac{n+1}{2}\)の順に繰り返す：
マス\((0,k),(1,k+1),\dots,(n-1,k+n-1)\)に\(k\)を書き込む.
これで得点\(n(n+1)\)とれることの証明は略す(やればできるので…).

問3

感想

ちょっと簡単目の関数方程式だったと思います.
感覚でいろいろやれば解ける感じだったので個人的に楽でした.

略解

このサイトの解が結構きれいです.
JMO2019本選問3 | 凸レンズの部屋（仮）

問4

感想

解けませんでした…後輩から解説を聞きましたが解けるべきでした…

略解

図のように点を取る. \(DM=ME\)となるのは有名な構図.
f:id:yootaamath:20190215172623p:plain
すると\(\angle DGE=90^\circ\)より\(MD=MG\). よって\(MG\)は\(\omega\)に接し, \(\angle IG M=90^\circ\)である. すると四角形\(AHJM\), 四角形\(AHDG\), 五角形\(IDJMG\)はそれぞれ円に内接する. この3つの円の根心は\(K\)となるため, \(G,D,K\)は共線. \(AK//FD\)より\(GF:GA=GD:GK\)で, \(\odot AGK\)は\(\omega\)と点\(G\)で接する.