#2 (2016 Iran MO 3rd-G1)

感想

これは、どのような点を通るか考えるのが少し難しいところ.
しかし気づけば簡単.
所要時間30分, 難易度3～4

原文

In triangle \(ABC\) , \(w\) is a circle which passes through \(B,C\) and intersects \(AB,AC\) at \(E,F\) respectively. \(BF,CE\) intersect the circumcircle of \(ABC\) at \(B',C'\) respectively. Let \(A'\) be a point on \(BC\) such that \(\angle C'A'B=\angle B'A'C\).
Prove that if we change \(w\), then all the circumcircles of triangles \(A'B'C'\) passes through a common point.

和訳

三角形 \(ABC\) において, 円 \(w\) は辺 \(AB,AC\) とそれぞれ点 \(E,F\) で交わる. 直線 \(BF,CE\) は三角形 \(ABC\) の外接円とそれぞれ点 \(B',C'\) で交わる. また, 直線 \(BC\) 上にある点 \(A'\) は \(\angle C'A'B=\angle B'A'C\) を満たす.
このとき, \(w\) の位置にかかわらず, すべての三角形 \(A'B'C'\) の外接円はある一点を通ることを示せ.