#5 (2015 IZhO Day1 - 2)

IZhO : International Zhautykov Olympiad

感想

久々の良問. なかなか補助線が面白かった.
(これからこのブログには良問しか載せないことにしよう)
Lv.4 所要時間60分

原文

Inside the triangle $ ABC $ a point $ M $ is given. The line $ BM $ meets the side $ AC $ at $ N $. The point $ K $ is symmetrical to $ M $ with respect to $ AC $. The line $ BK $ meets $ AC $ at $ P $. If $ \angle AMP = \angle CMN $, prove that $ \angle ABP=\angle CBN $.

翻訳

三角形$ ABC $の中に点$ M $がある. 直線$ BM $は辺$ AC $と点$ N $で交わる. 点$ K $は$ AC $に関して$ M $と対称である. 直線$ BK $は辺$ AC $と点$ P $で交わる. もし$ \angle AMP = \angle CMN $なら, $ \angle ABP = \angle CBN $を証明せよ.

#4 (2016 Iran 3rd N1)

感想

なかなか面白い問題. 主張が強くて面白い.
所要時間60分, 難易度5

原文

Let \(p,q\) be prime numbers (\(q\) is odd). Prove that there exists an integer \(x\) such that:
\[q |(x+1)^p-x^p\]If and only if \[q \equiv 1 \pmod p .\]

和訳

\(p\) は素数, \(q\) は奇素数とする. このとき, \[q |(x+1)^p-x^p\]を満たす整数 \(x\) が存在することは, \[q \equiv 1 \pmod p\]であることの必要十分条件であることを示せ.

#3 (2013IMO-1)

感想

迷宮に入り込み無駄に時間を使ってしまった。
時間90分、難易度4

原文

任意の正の整数の組 \((k,n)\) に対して, ある \(k\) 個の (相異なるとは限らない) 正の整数 \(m_1,m_2,...,m_k\) が存在して
{\begin{eqnarray}1+\frac{2^k-1}{n}=\left(\frac{1}{m_1}\right)\left(\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(\frac{1}{m_k}\right)\end{eqnarray}}
となることを示せ。

#2 (2016 Iran MO 3rd-G1)

感想

これは、どのような点を通るか考えるのが少し難しいところ.
しかし気づけば簡単.
所要時間30分, 難易度3~4

原文

In triangle \(ABC\) , \(w\) is a circle which passes through \(B,C\) and intersects \(AB,AC\) at \(E,F\) respectively. \(BF,CE\) intersect the circumcircle of \(ABC\) at \(B',C'\) respectively. Let \(A'\) be a point on \(BC\) such that \(\angle C'A'B=\angle B'A'C\).
Prove that if we change \(w\), then all the circumcircles of triangles \(A'B'C'\) passes through a common point.

和訳

三角形 \(ABC\) において, 円 \(w\) は辺 \(AB,AC\) とそれぞれ点 \(E,F\) で交わる. 直線 \(BF,CE\) は三角形 \(ABC\) の外接円とそれぞれ点 \(B',C'\) で交わる. また, 直線 \(BC\) 上にある点 \(A'\) は \(\angle C'A'B=\angle B'A'C\) を満たす.
このとき, \(w\) の位置にかかわらず, すべての三角形 \(A'B'C'\) の外接円はある一点を通ることを示せ.

#1 (2014SLP-G3)

感想

難しくありません(すごいアイデアを使う必要がありません).
所要時間30分、レベル4[JJMO3-4番級(難しい方)]

原文

Let \(\Omega\) and \(O\) be the circumcircle and the circumcentre of an acute-angled triangle \(ABC\) with \(AB>BC\). The angle bisector of \(\angle ABC\) intersects \(\Omega\) at \(M\neq B\). Let \(\Gamma\) be the circle with diameter \(BM\). The angle bisectors of \(\angle AOB\) and \(\angle BOC\) intersect \(\Gamma\) at points \(P\) and \(Q\), respectively. The point \(R\) is chosen on the line \(PQ\) so that \(BR=MR\). Prove that \(BR\parallel AC\). (Here we always assume that an angle bisector is a ray.)

和訳

\(AB>BC\)を満たす鋭角三角形\(ABC\)があり、その外接円を\(\Omega\), 外心を\(O\)とする. \(\angle ABC\)の二等分線は\(\Omega\)と\(B\)でない点\(M\)で交わる. \(\Gamma\)を、線分\(BM\)を直径とした円とする. \(\angle AOB\), \(\angle BOC\)の二等分線は\(\Gamma\)とそれぞれ\(P\), \(Q\)で交わる. 点\(R\)を, 直線\(PQ\)上で\(BR=MR\)を満たす点とする. このとき、\(BR\parallel AC\)を証明しなさい. (ここでは, 角の二等分線は半直線だと仮定する. )

#0 (概説)

略語一覧

SLP ... Short List Problems. IMOの候補となった問題. ここ(http://www.imo-official.org/problems.aspx)から見られる.
IMO ... International Mathematics Olympiad. 国際数学オリンピック.
JMO ... Japanese Mathematics Olympiad. 日本数学オリンピック.
JJMO ... Japanese Junior Mathematics Olympiad. 日本ジュニア数学オリンピック.
(適宜追加していきます. )

レベル

1 ... JJMO1-2番級
2 ... JMO1-2番級
3 ... JJMO3-4番級(簡単な方)IMO1番級
4 ... JJMO3-4番級(難しい方)
5 ... JMO3-4番級(簡単な方)
6 ... JMO3-4番級(難しい方)
7 ... JJMO5番級, IMO2番級
8 ... JMO5番級
9 ... IMO3番級
(レベルはあくまでも目安です (個人の独断と偏見です). また、たとえばJJMO5番の問題が必ずしもLv.7であるとは限りません. )